Helmholtz Gleichung

Telegrafengleichung für Sinusgrößen

Die Allgemeine herangehensweise nach D’Alembert im Zeitbereich betrachtet sowohl und , welche die Analyse und Lösung der Gleichungen erschwert. Für Sinusförmige größen, welche mit nur einer Frequenz schwingen, lassen sich vereinfachungen der komplexen Wechselstromrechnung anwenden.

In der Wechselstromtechnik kann eine Differenzation nach der Zeit durch eine Multiplikation mit substituiert werden.

Die Telegraphengleichungen werden dann von der Wellengleichung zu einer gewöhnliche DGL 2. Ordnung.

Telegrafengleichung - Ausbreitung des E und H-Feldes in einem Medium

Für eine Ausbreitung der gekoppelten Vektorfelder (elektrisches Feld) und (magnetisches Feld), dessen Zusammenhang mit den Maxwell Gleichungen beschreiben werden, lässt sich die Wellengleichung für die Feldkomponenten herleiten.

Die gleiche herangehensweise kann auch in der Zeitbereichsbetrachtung verwendet werden.

Verlustloses Medium

S) Wellengleichung in verlustlosen, linearen, isotropen und homogenen dielektrischen Medien

Mit der Wellenzahl

Herleitung der Wellengleichungen

Damit die Vereinfachung gilt, muss dass Material des Wellenleiters linear, isotrop und homogen sein.

  • und sind konstante skalare und reelle Werte.

Man betrachtet die Materialgesetze und Maxwell-Gleichungen in Phasorschreibweise in einem verlustlosen dielektrisches Medium () und erhält folgende gekoppelte partielle DGLen:

Indem man den Rotor auf eine der Gleichungen anwendet (z.B. MW1) erhält man

Die Rechenregel für den Rotor des Rotors (xi) eines Vektorfeldes:

MW3 besagt, dass . Da sich im idealen dielektrikum keine Ladungsquellen befinden ist , wodurch man für die Wellengleichung im Frequenzbereich erhält:

Mit der Wellenzahl . Durch dieselbe Betrachtung für das H-Feld erhält man parallel

Aus den gekoppelten DGL hat man nun eine eingrößen DGL erhalten und man kann die Feldausbreitung separat betrachten.

Lösung der Wellengleichungen

Für ein einfaches elektrisches Feld mit nur einer Feldkomponente in Richtung und keiner änderung in und (), die Wellengleichung reduziert sich zu

Die Lösung für diese homogene GDGL 2. Ordnung haben die Form

Wobei die reellen konstanten und durch Rand- oder Anfangswerte ermittelt werden müssen.

Durch die rücktransformation der Phasorschreibweise, erhält man die Zeitbereichs lösung der Wellengleichung

Verlustbehaftetes Medium

S) Wellengleichung in verlustbehafteten, linearen, isotropen und homogenen dielektrischen Medien

Herleitung der Wellengleichung

Damit die Vereinfachung gilt, muss dass Material des Wellenleiters linear, isotrop und homogen sein.

  • und sind konstante skalare und komplex Werte.

Man betrachtet die Materialgesetze und Maxwell-Gleichungen in Phasorschreibweise in einem verlustbehafteten dielektrischen Medium (). Berücksichtig man nun die Leitungsstromdichte , erhält folgende gekoppelte partielle DGLen:

Wie in der Herleitung für Verlustlose Medien, entkoppelt man die DGL durch andwendung des Rotors. Die Wellengleichung lautet dann

Durch die selbe Betrachtung für das Magentfeld erhält man dual:

Allgemeine Lösung der Wellengleichung