Nabla Operator

D1 - NABL) Nabla Operator

Sei . Der Nabla Operator () ist alleinstehend folgendermaßend definiert

Wird nicht nach allen Größen differenziert, zum Beispiel wenn gilt, dass , wird ein Subskript eingeführt:

Im oft gebräuchlichen kartesischen Koordinatensystem Lässt sich der Nabla Operator Schreiben wie:

wobei die Einheitsvektoren in -Richtungen sind (manchmal auch genannt).

Der Nabla-Operator lässt sich sowohl auf

  • partiell differenzierbare Skalarfelder ()
  • als auch auf partiell differenzierbare Vektorfelder ()

anwenden

Der Nabla-Operator ist Operator und Vektor in einem, d.h. mit inm lässt sich wie mit einem Vektor rechnen, d.h. es gelten die Verknüpfungen wie Skalarprodukt und Kreuzprodukt

Verschiedene Vektorielle Verknüpfungen des Nabla Operators mit dem index haben spezielle Namen:

Allgemeine Rechenregeln

Rechenregeln für den Nabla-Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln für Skalarund Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten. Dabei muss man die Produktregel anwenden, wenn der Nabla-Operator links von einem Produkt steht.

S1 - NABR) Rechenreglen mit dem Nabla-Operator ^NABR

Sind und differenzierbare Skalarfelder (Funktionen) und sowie differenzierbare Vektorfelder, so gilt:

NrRegelAnmerkung
(i)Kettenregel für Gradient
(ii)Produktregel für Gradient
(iii)Produktregel für das Skalarprodukt zweier Vektorfelder
(iv)Produktregel für die Divergenz
(v)Divergenz des Kreuzprodukts
(vi)Divergenz des Gradienten (Laplace Operator)
(vii)Divergenz des Rotationsoperators
(viii)Rotation des Gradienten
(ix)Rotation eines Produkts mit Skalarfeld
(x)Rotation des Kreuzprodukts
(xi)Rotation des Rotationsoperators ( vektorieller Laplace Operator)
^T1

Zu (xi): Rotor des Rotors Gradient der Divergenz Divergenz des Gradienten

  • [[Laplace Operator]]