Maxwell Gleichungen

MWG: Durchflutungssatz nach Ampère
MWG: Induktionsgesetz nach Faraday
MWG: Gaußsches Gesetz: ist ein Quellenfeld
MWG: ist Quellfrei

Übersicht

Symbol	Bedeutung		Einheit
	elektrische Feldstärke	Intesitätsgröße
	magnetische Feldstärke	Intesitätsgröße
	magnetische Flussdichte	Quantitätsgröße
	elektrische Flussdichte	Quantitätsgröße
	elektrische Stromdichte
	magnetische Stromdichte	(fiktive größe, vereinfacht oft Berechnungen)
	Raumladungsdichte

Fettgedruckte Größen sind Vektorfelder mit den wichtigsten und . Alle diese Vektorfelder hängen sowohl vom ort als auch von der Zeit ab:

Mit als kartesische Koordinaten. Es sind auch Polar- oder Zylinderkoordinaten möglich. Wichtig sind auch die materiellen Zusammenhänge zwischen Intensitäts und Quantitätsgrößen.

Für spezielle Bedingungen können die Maxwellgleichungen auch in Phasorschreibweise Angeschreieben werden.

Differentielle und integrale Formulierung

Die Umrechnung zwischen der differentiellen und integralen Formulierung der Maxwell Gleichung erfolgt mit den Integralsätzen:

Divergenz	Rotor

1. MWG - Durchflutungssatz

Auch Ampèresches Gesetz

differentielle Form	Integralform
Die Wirbel des Magnetfelds hängen von der Leitungsstromdichte und von der elektrischen Flussdichte ab.	Die magnetische Zirkulation über der Randkurve einer Fläche ist gleich der Summe aus dem Leitungsstrom und der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche.

S1 - 1. Maxwell Gleichung) Durchflutungssatz, Amperesches Gesetz ^MW1

… Leitungsstromdichte. Dominiert in Leitern
… Verscheibungsstromdichte. Dominiert in Dielektrika

Aussage: Ein Stromdurchflossener Leiter erzeugt um sich herum ein Magnetfeld

invert_light|500

Die zeitliche änderung von

wird auch als Verschiebungsstromdichte

bezeichnet.

Die Summe von und ergibt die totale Stromdichte

Verschiebungsstromdichte

Physikalische Interpretation

Gezeigt ist ein Modell einer Leiterschleife mit einem Spalt[1] und einer Quelle.

invert_dark|600

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Würde die 1. MWG lauten, so würde nach dem Einschaltzeitpunkt kein Strom Fließen. Jedoch Verschieben sich sie Ladungen an die Ränder des Spalts. Während dieser verschiebung fließt jedoch der Entsprechende Strom. Jedoch nur während sich das Elektrische feld Aufbaut, daher der Term .

Während dieser Strom fließt wird natürlich trotzdem ein Magnetfeld aufgebaut, welches die Leiterschleife umgibt.

[1] Je nach Dielektrikum (Isolator) ergibt sich eine Andere Feldstärke:

Mathematische Interpretation

Der Verschiebungsstrom wird durch die zeitliche veränderung der elektrischen Flussdichte hervorgerufen. Dies ist nötig, damit die [[Kontinuitätsgleichung]] erfüllt ist:

Ohne die Verschiebungsstromdichte lautet die 1. MWG:
Eine Rechenregel der Vektoranalysis besagt, dass Wirbelfelder Quellenfrei sind, sodass gilt:
Diese Gleichung kann aber nur gelten wenn lt. der Kontinuitätsgleichung ist.

Jedoch ist auch möglich, da:

das elektrisches Feld ein Quellenfeld ist (MW3)
und proportional zu ist (M3)

Daher wird der Term eingeführt, um die Kontinuitätsgleichung zu erfüllen, während Mathematische Sätze eingehalten werden.

2. MWG - Induktionsgesetz

Auch Faradaysches Induktionsgesetz

differentielle Form	Integralform
Jede Änderung des -Feldes führt zu einem elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte abhängig.	Die (elektrische) Zirkulation über der Randkurve einer Fläche ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche.

S2 - 2. Maxwell-Gleichung) Faradaysches Induktionsgesetz ^MW2

ist die fikitve größe der magnetischen Stromdichte und hat physikalisch keine Bedeutung. Durch das Einführen dieser größe, vereinfachen sich oft Rechnungen, und das Induktionsgesetz ist symmetrisch zum Durchflutingssatz. Das Induktionsgesetz ist auch ohne diesen Term gültig.

invert_light|500

Aussage: Ein Sich zeitlichveränderlichs Magnetfeld erzeugt ein Elektrisches Feld.

Das Vorzeichen bewirk, dass die elektrische Feldstärke entgegen der Änderung des magnetischen Flusses wirkt. Also Entgegen der Richtung des Linienintegrals in Rechtsschrauben Regel. Begründet durch die Lenzsche Regel.

Ist so sind die Bedingungen der Arbeit im Elektrostatischen Feld erfüllt und es gilt dass das Linien Integral über eine geschlossene Kurve gleich ist. Siehe Erläuterung zum Gradientenfeld.

3. MWG - Gaußsches Gesetz

differentielle Form	Integralform
Das -Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung (Ladungsdichte ) ist die Quelle des elektrischen Feldes.	Der (elektrische) Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens ist direkt proportional zu der elektrischen Ladung in seinem Inneren.

S3 - 3. Maxwell-Gleichung) Gaußsches Gesetz ^MW3

4. MWG - Quellenfreiheit des B-Feldes

differentielle Form	Integralform
Das -Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole. Das heißt es muss zu jedem Nordpol auch einen Südpol geben.	Der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren, nämlich Null, da es keine magnetischen Monopole gibt.

S4 - 4. Maxwellgleichung) Quellenfreiheit des B-Feldes ^MW4

Materialgleichungen

Mathematische Grundbegriffe

Nabla Operator:

Gradient	Divergenz	Rotation

invert_light|1000

Gradient

Der Gradient eines Skalarfeldes ist ein Vektorfeld, das die Richtung und die Steigung des Skalarfeldes angibt.
hat hier ein höheres Potenzial als .
Es Gilt Wegunabhängigkeit:
Wandert man in einem Gradientenfeld über eine Geschlossene Kontur, ist man auf dem Gleichen Potenzial wie zu Beginn.
Damit wird die Kirchhoffsche Maschenregel begründet