Herleitung eines HF-Modells für eine Parallelplattenleitung

Herleitung der Parallelplattenleitung mittels der Maxwell-Gleichungen

Das Verfahren ist gleich für andere Leitergeometrien

Dimensionen

Dimensionen der Platten, sodass Vereinfachungen der Berechnungen möglich sind.

invert_dark|600

  • Platte ist sehr Lang in -Richtung.
  • ist vernachlässigbar dünn.
  • Verhältnis ist groß, sodass die Feldlinien innerhalb des Leiters als parallel angenommen werden.

Mit diesen Annahmen kann der Parallelplattenleiter als TEM-Mode betrachtet werden.

Annahmen zum Feldverlauf

Vorraussetzung für TEM-Moden:

invert_dark|600

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E-Feld

  • E-Feld hat keine komponente die in -Richtung zeigt (da TEM)
  • wir nehmen an dass die E-Feld Komponente in -Richtung 0 ist
ü
H-Feld

  • H-Feld hat auch keine komponente in -Richtung
  • wir nehmen an dass das H-Feld nur in -Richtung zeigt (gegensatz zum E-Feld)
ü

Vereinfachte Lösung mit annahme einer idealen TEM mode (es gibt genauere Lösungen)

Herleitung der Telegrafengleichung

Anwendung des Induktionsgesetzes
invert_dark|500
Nur E-Feldlinien entlang der Kontur werden Integriert.
Nur H-Feldlinien normal zur Fläche werden Integriert.
In das Modell eingezeichnet

invert_dark|500

Folgerungen der Kontur

Dieser Ansatz zeigt uns:

  • über den Abstand der Platten integriert liefert die Propagierende Spannungswelle
  • diese ändert sich auch nicht über die -Achse, sondern nur in -Richtung.
Herleitung

Linke Seite der Integralform von MW2:

Mit dem Skalarprodukt fallen nur die --Komponenten ins Gewicht:

Unter den Annahmen des Feldverlaufts ist . Tangentiale Feldanteile bei und fallen aber sowieso weg.

Rechte Seite der Integralform von MW2:

Da der Flächenvektor der Fläche in -Richtung zeigt, also nur mit ihm über das Skalarprodukt korrilieren kann, verschwindet das Flächenintegral:

Gleichsetzen der beiden seiten liefert:

Was bedeuted, dass nicht über Variiert, also konstant in ist. Dies führt uns dazu, das integral als Funktion über und zu schreiben, nämlich als die Propagierende Spannungswelle :

^1

Folgerungen der Kontur

Dieser Ansatz zeigt uns:

  • Variation des E-Feldes über die -Richtung (also )
  • liefert eine weitere Gleichung in abhängigkeit von mit welchem man mit dem Durchflutungssatz auf die Stromwelle schließen kann.
Herleitung

Linke Seite der Integralform von MW2:

Wir wissen bereits, dass die Spannung über konstant ist. Dabei kann (1) Eingesetzt werden

Rechte Seite der Integralform von MW2:

Das Dazugehörige Flächenintegral über liefert

Gleichsetzen der beiden seiten liefert:

Aus DIFQ (Durch dividieren, dann ) folgt:

Aus den Annahmen zum Feldverlauf ist in und konstant, also nur in abhängig:

^2

Herstellung einer U-I Beziehung

Das resultierende Integral über kann mit dem Durchflutungssatz evaluiert werden:

(wegen der TEM ist die Verschiebungsstromdichte 0)

Stromdichte Entlang des LeitersKontur Umkreist eine der Platten
invert_dark|500invert_dark

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  • ist vernachlässigbar klein.
  • existiert nur in -Richtung zwischen den Platten und ist in konstant
  • Also wird nur über in Richtung Integriert

^3

Die Telegrafengleichung

(3) in (2) eingesetzt ergibt:

Der Gleiche Ansatz für die Kontur aber mit dem Durchflutungssatz (wo ) liefert:

Somit erhalten wir die Telegrafengleichung als gekoppelte PDGL, mit den Leitungsbelägen und :

  • Kapazitätsbelag
  • Induktivitätsbelag

Für Andere TEM-Leitergeometrien sind diese Beläge anders, aber die Form der Gleichung bleibt gleich.

TEM- TE- und TM-Modellbildung

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