Transversale EM-Welle
%%- Sonderfall einer elektromagnetischen Welle, bei der in Ausbreitungsrichtung sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld verschwindet.
- Magnetische und elektrische Felder ausschließlich in Ebenen senkrecht (transversal) zur Ausbreitungsrichtung.
- Bildet sich als geführte Welle z. B. zwischen Außen und Innenleiter eines verlustlosen Koaxialkabels aus.
- Auch die ebene Welle ist ein Beispiel für TEM-Wellen.
Die Wellengrößen zeigen normal zur Ausbreitungsrichtung.
(Wellenzahl = Phasenkonstante) - Die Richtung in die sich die Leistung bewegt ist mit dem Poynting Vektor gegeben:
Lösungen für TEM Wellen
Es gelten die Grundlagen der Modellbildung für Leitergeometrien
Referenzen beachten.
Für TEM Wellen gilt, dass
Mit
Die kleinste Wellenzahl für TEM Wellen ist 0, bedeutet dass Lösungen der Wellengleichung bis zur Frequenz null gültig sind (Elektrostatik bzw. Gleichspannung).
Die Wellenausbreitung wird allgemein durch die Helmholtzsche Differenzialgleichung beschreiben:
Die Feldkomponenten
Eingesetzt in die Allgemeine Helmholtz DGL für die
Das Selbe ergebnis erhält man auch für
Man erhält die Laplacegleichung mit
Mit der gleichen vorhergehensweise erhält man für das
Man kann erkennen, dass für beide Felder nicht nur die Wellengleichung, sondern auch die Laplacegleichung erfüllen. Die Laplacegleichung beschriebt in der Elektrostatik das Verhalten des skalaren potenzials in Quellfreien regionen.
Mit dem Entfall der Zeitabhängigkeit kann man darauf schließen, dass diese Gleichung auch in der Elektrostatik gilt. Die Transversalen Felder der TEM Welle sind daher die selben wie die statischen Felder, die zwischen zwei leitern existieren.
Mit der Elektrostatischen betrachtung lässt sich erschließen, dass ein Feld nur zwischen zwei Leitern existieren kann. TEM Moden müssen aus zwei Leitern bestehen. In einlieter Modellen ist es nicht möglich, eine Elektrostatische Lösung für die Wellen zu erhalten, da das Feld innerhalb des Leiters bei Gleichspannung gleich 0 ist (Im Leiter ist überall das gleiche Potenzial).
Aus der Elektrostatik ist bekannt, dass das Elektrische Feld ein Gradientenfeld des skalaren Potenzials
mit dem Gradienten
- Das Gaußsche Gesetz (MW3) besagt
für ein ladungsfreies Gebiet. - Definition des Laplace Operators:
.
Für diesen Fall:
Außerdem gilt, dass der Rotor eines Gradientenfeld gleich null ist und es folgt mit MW2:
Feldwellenwiderstand
Aus 3.3a bzw. 3.4a lässt sich der Feldwellenwiderstand als verhältnis der Wellenamplituden berechnen:
Im Allgemeinen gilt dann für TEM-Wellen der Zusammenhang:
- Der Feldwellenwiderstand ist der selbe wie der für Ebene Wellen in einem Verlustlosen Medium. Diese hängen aussschließlich von den Materialeigenschaften ab.
- Die charakteristische Impedanz
einer Transmissionline ist etwas anderes: Diese bringt eine propagierende Spannungswelle und die Stromwelle in beziehung und ist abhängig von der Geometrie und dem Material.
Analyse von TEM-Moden
Um die Leiterkenngrößen von TEM Wellen zu ermitteln, kann folgende Herangehensweise vorgenommen werden:
- Laplacegleichung
für Lösen. Die Lösung wird einige unbekannte Konstanten haben - Konstanten finden, indem bekannte Spannungen auf der Leitung als Randwerte eingesetzt werden.
aus (3.13) und aus (3.1a) berechnen. aus (3.18) und aus (3.1b) berechnen. - Spannung
aus Berechnen. Strom mit dem Amperesches Gesetz aus berechen. - Die charakteristische Impedanz ist gegeben durch
- Die Ausbreitungskonstante is gegeben durch
Referenzen
- Pozar, D. M. (2012). Microwave engineering (4. ed.). Wiley. http://media.obvsg.at/AC08958137-1001