q-Transformation

Bilineartransformation nach Tustin

Für den Entwurf digitaler Regelkreise spielt der Frequenzgang des Abtastsystems dieselbe Rolle wie bei zeitkontinuierlichen Systemen. Die Handhabung der Funktion wird jedoch durch die Tatsache erschwert, dass hier eine transzendente Funktion in vorliegt.

invert_dark|1000

Transformationsvorschrift

Dies ist dann möglich, wenn man eine Transformation so findet, dass die obere Hälfte des Einheitskreises im Intervall der komlexen -Ebene abgebildet wird. Genau dies kann aber mithilfe der Transformationsvorschrift

erreicht werden.

Diese Transformationsvorschrift kommt von der Taylorentwicklung des natürlichen Logarithmus.

Beziehung zwischen und :

Taylorreihe des :

Taylorpolynom nach dem ersten grad abgebrochen liefert die näherung:

Frequenztransformation

Frequency Pre-Warping

Das Ziel ist es, die Frequenz so zu transformieren, dass in einer transformierten Frequenz der Frequenzgang des Abtastsystems eine rationale Funktion ist.

Setzt man in für ein, so erhält man

Es hat sich als sinnvoll erwiesen, den Normierungsfaktor auch bei der transformierten Frequenz zu verwenden, und aus

matlab Befehl (Control_System_Toolbox)

tustin()

Um die realsierbarkeit / Sprungfähigkeit festzustellen muss bekannt sein. Im s-Bereich die grade von Nenner und Zähler vergleichen. Im q-Bereich Grenzwerte

Referenzen