Einseitige Laplace Transformation

z-Transformation

Die Laplace Transformation ist eine Integraltransformation, die eine Funktion auf eine Funktion abbildet. Sie ist eine Erweiterung der Fouriertransformation und wird verwendet, um Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen zu überführen.

Der Transformationskern ist die exponential Funktion mit gemischt reel-komplexem Exponenten:

  • Was bei der FT die Frequenzachse ist, ist bei der Laplacetransformation eine komplexe Ebene.
  • Mit dem neuen Paramter lässt sich die Konvergenz beeinflussen, und kann als Dämpfung verstanden werden.

Damit kann eine größere Klasse von Funktionen im Zeitbereich erfasst werden als mit der Fourier-Transformation.

Man überprüft mit dem neuen Term nicht nur die Korrelation mit (also einer Frequenz) sondern zusätzlich mit einem Faktor , wobei man erkennen kann dass nur für negative der Term für verschwindet. Das System ist also auch nur dann stabil / besitzt einen konvergenten eingeschwungenenen zustand ( existenz der Fouriertransformation). siehe Stabilität des Systems

Der Frequenzgang des Signals ist die Imaginärachse der Laplacetransformation, da ja . siehe Übertragungsfunktion

Einseitigkeit:

  • Es werden nur kausale Signale betrachtet
    • z.B. Bei Einschaltvorgängen interessiert uns nur, was nach dem Einschalten passiert.
  • Wegen der Einseitigkeit wird bei der Funktion des Zeitsignals die Heaviside-Funktion (oft implizit) dazu Multipliziert.
    • (nicht zu verwechseln mit dem neuen eingeführten Parameter )
LAPT D1) Ist eine Funktion auf definiert mit für , so heißt:

Die Einseitige Laplace Transformation von , kurz

ist eine holomorphe Funktion. Die Laplacetransformation ist im Sinne des Uneigentliche Integrals zu verstehen:

Pole und Nullstellen

Beschränkung auf rationale Laplace Transformation. Ergebnis ist ein Quotient zweier Polynome

  • Nullstellen des Nennerpolynoms heißen Pole vom .
  • Nullstellen des Zählerpolynoms heißen Nullstellen von .

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist die Anzahl der Nullstellen gleich der Grad des Polynoms. Nullstellen treten als (vielfache) relle und/oder konjugiert komplexe Zahlen auf. Um die Terme zu vereinfachen, bedient man dich der Partialbruchzerlegung.

Pol-Nullstellen Diagramm und Konvergenzbedingungen

Die Oben definierten Pole und Nullstellen von können in ein Diagramm eingezeichnet werden:

invert_dark|500

Damit konvergiert, müssen alle Integrale konvergieren.

S1 - LTKB) Konvergenzbedingung für die Laplace-Transformierte

Das heißt, dass das Laplace-Integral in der Halbebene rechts jenes Pols mit dem größten Realteil konvergiert.

Das führt zur Konvergenzabzisse im Pol-Nullstellen Diagramm

Sätze

S2 - LTR) Sätze zu den Rechenregeln für Laplace-Transformationen ^LTR

Einfache Schreibweise:

Explizite Schreibweise:

S3 - AEWS) Anfangs und Endwertsatz ^AEWS

  1. erster Anfangswertsatz

Es sei vorrausgesetzt, dass der Grenzwert im Zeitbereich existiert

  1. zweiter Anfangswertsatz

Es sei vorrausgesetzt, dass der Grenzwert im Zeitbereich existiert

  1. Endwertsatz

Endwert satz gilt nur dann, wenn alle Pole Links stehen, außer der Pol bei 0. Bevor der Endwertsatz angewandt wird muss die Funktion auf stabilität geprüft werden.

Wegen dem Differenzations-Satz bezeichnet man auch als Differenzations-Operator beim rechnen im Bildbereich

Korrespondenzen

S3 - LAPK) Korrespondenztabelle ^LAPK

Rücktransformation

D - ILAPT) Inverse Laplace Transformation - Umkehrintegral ^ILAPT

Funktionen im Bildbereich treten als rationales Polynom auf

Vorhergehensweise

  1. Polynomdivision wenn
  2. sollte soweit es geht faktorisiert werden
  3. Null und Polstellen berechnen:
  4. Partialbruchzerlegung durchführen
  5. Vereinfachte Korrespondenzen der Tabelle Entnehmen

Existenzbedingungen

Bedingungen für die Existenz der Laplace-Transformierten der Funktion :

ü

für geeignete reelle Konstanten und und dass in jedem endlichen intervall nur endlich viele Sprungstellen besitzt.

Abschätzung der Konvergenzabzisse: Welche Funktionen können Transformiert werden?

Für spezielle Funktionen lassen sich Abschätzungen für angeben: Mit bezeichnen wir die Menge der Funktionen , für die gilt, dass stückweise stetig ist und dass höchstens exponentiell wächst. Das heißt, es existieren und , sodass

Sei und mit und . Dann gilt: . Mit erhalten wir nun:

S2 - TRF) Transformierbare Funktionen

Sei , dann Existiert die Laplace-Transformation von für alle mit . Mit wie in der obigen Abschätzung für die Konvergenzabzisse

Stabilität des Systems

Polstellen bei verschiedenen Schwingbedingungen:

  • Schwingfall: Pole sind rein konjugiert Komplex
  • Kriechfall: Pole sind rein reell
  • Grenzfall: Pole wander zusammen bis sie auf der Imaginärachse sind

Polstellenlage vs. Zeitbereichssignal

invert_dark|1000

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