Zufallsvariable

Ein Merkmal , dessen numerische Werte die Ergebnisse eines Zufallsvorgangs sind, heißt Zufallsvariable oder Zufallsgröße.

D - Zufallsvariable)

Unter einer Zufallsvariablen versteht man einen Mechanismus, der für das Zustandekommen von zufälligen (also nicht vollständig vorhersehbaren) Zahlen verantwortlich ist. Zufallsvariable bezeichnen wir stets mit großen Buchstaben

  • Eine Zufallsvariable heißt diskret, wenn dabei nur diskrete (also durch Intervalle voneinander getrennte) Zahlen erzeugt werden.
  • Eine Zufallsvariable heißt stetig, wenn prinzipiell alle Zahlen aus einem Intervall auftreten können und keine dieser Zahlen mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt.

Dem Begriff einer Zufallsvariablen liegt die Vorstellung zu Grunde, dass die mit diesem Mechanismus erzeugten Werte dadurch entstehen, dass im Hintergrund ein mehr oder weniger komplexes Zufallsexperiment abläuft, von dessen Realisierungen nur das Merkmal beobachtet wird.

Bei einer Zufallsvariablen handelt es sich somit um eine Abbildung wobei in vielen Fällen weder der Ereignisraum noch das dieses Zufallsexperiment steuernde W-Maß explizit bekannt sind.

Mit der folgenden Skizze wird diese Situation verdeutlicht. Man erkennt

  • Das im Hintergrund ablaufende Zufallsexperiment
  • Den Zufallsmechanismus , welcher jedem die zufällige Zahl zuordnet
  • Das Ereignis
  • Die durch das W-Maß auf und die Zufallsvariable bestimmte Verteilung auf .

invert_dark

Beispiele für diskrete Zufallsvariablen

  • Das Beobachten der Augensumme beim Würfeln mit drei homogenen Würfeln;
  • Das Feststellen der Anzahl der auftretenden Adler beim 10-maligen Werfen einer Münze;
  • Das Beobachten der Anzahl der Farbwechsel beim Ziehen von verschieden gefärbten Kugeln aus einer Urne;
  • Das Feststellen der Anzahl der fehlerhaften Stücke einer Stichprobe;
  • Das Beobachten der Anzahl der Forderungen, die bei einer Bedienungsanlage eintreffen;
  • Das Feststellen der Anzahl der in einem Zeitintervall von einer radioaktiven Substanz emittierten Teilchen;
  • Das Ermitteln der Anzahl der Fehlstellen in einem Stück Stoff oder in einem Streifen Blech.
Beispiele für stetige Zufallsvariablen

  • Das Beobachten der Verweilzeit einer Forderung in einer Bedienungsanlage;
  • Das Feststellen der Lebensdauer eines elektronischen Bauteils;
  • Das Beobachten der Schlafdauer einer Testperson nach Einnahme eines Schlafmittels;
  • Das Aufnehmen eines mit Messfehlern behafteten Messwerts.

Verteilung einer Zufallsvariable

In der Stochastik ist man weniger an der Zufallsvariable selbst (also an dem Mechanismus, der diese zufälligen Zahlen erzeugt) interessiert, sondern vielmehr daran, wie diese verteilt sind.

Also mit welchen Wahrscheinlichkeiten die Zahlen , welche durch diesen Mechanismus Z erzeugt werden, auftreten.
D - Verteilung)

Unter der Verteilung der Zufallsvariablen versteht man eine Abbildung , welche jeder (vernünftigen) Menge die Wahrscheinlichkeit

zuordnet. Die Zahl gibt somit an, mit welcher Wahrscheinlichkeit durch den Mechanismus ein Wert aus der Menge erzeugt wird. Ist die Zufallsvariable diskret bzw stetig, so nennt man auch die Verteilung diskret bzw. stetig.

S) Die Verteilung einer Zufallsvariable ist ein W-Maß auf , es gilt also

  2. für alle Mengen ist
  3. für endlich oder abzählbar unendlich viele paarweise disjunkte Mengen gilt 1

Verteilungsdichten diskreter Zufallsvariablen

Unabhängige Zufallsvariable

D) seien Zufallsvariablen auf einem beliebigen W-Raum .

  1. Die beiden Zufallsvariablen und heißen unabhängig, falls für alle
  1. Die Zufallsvariablen heißen paarweise unabhängig, falls für alle und alle
  1. Die Zufallsvariablen heißen vollständig unabhängig, falls für jede Auswahl von paarweise verschiedenen Zufallsvariablen und alle 2

Man kann feststellen, dass zwei Zufallsvariablen unabhängig sind, indem man prüft,

Footnotes

  1. ↩
  2. ↩